Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten by Wolfgang Lück

By Wolfgang Lück

Dies ist ein neues und modernes Lehrbuch über Topologie. Hauptgegenstand des Buches sind Homologie-, Kohomologietheorien und Mannigfaltigkeiten. Die ersten acht Kapitel geben eine Einführung in die "Algebraische Topologie": es werden Begriffe wie Homologie, CW-Komplexe, Produkte und Poincare Dualitäte eingeführt und deren Anwendungen diskutiert. In den davon unabhängigen Kapiteln nine bis thirteen werden Differentialformen und der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten behandelt. Diese Kapitel sind geeignet für eine Vorlesung "Analysis III" oder "Analysis auf Mannigfaltigkeiten". Die in den letzten beiden Kapiteln behandelte de Rham Kohomologie und der Satz von de Rham verbinden diese beiden Teile. Die Darstellung ist komprimiert und kommt schnell auf das Wesentliche, das Buch ist vielseitig in der Lehre einsetzbar.

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Eine Einftihrung in die Fundamentalgruppe findet man beispielsweise in [2], [12], [14], [27], [32] und [38]. 35 (Die erste singuHire Homologie und die Fundamentalgruppe). Sei X ein wegweise zusammenhangender Raum mit Grundpunkt x E X. Der Hurewicz-Homomorphismus ordnet der Klasse einer Schleife w: (SI, 1) ~ (X, x) das Element HI (W)([SI]) zu, wobei [SI] E HI (SI) ~ Zein fest gewahlter Erzeuger ist. Dies ist eine wohldefinierte Abbildung von Gruppen und induziert einen Isomorphismus wobei [1l"1 (X, x), 1l"1 (X, x)] die Kommutatoruntergruppe ist.

En, 1)]) i=1 j=i+l n = i L L( _I)Hj+l . [(el, 0), ... , (e;,O), ... , (eHl, 0), (eHl, 1), ... , (e j=1 n n+l + L L (_I)i+j+l . [(el, 0), ... , (ei, 0), (ei, 1), ... 4 Beweis der Ausschneidung fUr singulare Homologie = n+1 i-1 i=2 j=l n n+1 L L (-1) i+ j . [( e " + '~ i=l '~ " 1, 0), ... , (e;,O), ... , (ei, 0), (ei, 1), ... , (e n+1 , 1)] (-1 )i+ J'+1 j=i+1 27 . [( e1,0), ----- ... ,(e n+1,I)]. ,(ei,0),(ei,I), ... 21) Es gilt c~ing (io(~n)) (<5 n ) - c~ing (id~n))( <5 n ) = -[(e1, 1), ... , (e n+1, 1)] + [(e1'0), ...

H. das Dimensionsaxiom ist erfUIlt. Sei {Xi liE I} eine Familie von topologischen Raumen. Da ~n zusammenhangend ist, induzieren die Inklusionen ji: Xi --+ IliE! 7) Isomorphismen von R-Moduln EB H~ing(ji): EB H~ing(Xi) ~ H~ing iEI iEI (II Xi) iEI (II Xi) iEI fUr aIle n E Z. Also ist das Axiom iiber disjunkte Vereinigungen erfiillt. Es bleibt zu zeigen, dass das Axiom iiber Homotopieinvarianz und das Ausschneidungsaxiom erfiillt sind. 16. Seien fo, II: (X, A) -+ (Y, B) Abbildungen von Paaren, die als solche homotop sind.

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